Question

（2013?长宁区二模）如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，O是坐标原点，A（-3，0）且sin∠ABO=35，抛物

（2013?长宁区二模）如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，O是坐标原点，A（-3，0）且sin∠ABO=35，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，C（-1，0）．（1）求直线AB和抛物线的解析式；（2）若点D（2，0），在直线AB上有点P，使得△ABO和△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，以A为圆心，AP长为半径画⊙A，再以D为圆心，DO长为半径画⊙D，判断⊙A和⊙D的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）在Rt△ABO中 sin∠ABO=

OA

AB

=

3

5

，
∵OA=3，
∴AB=5
则OB=

AB2?OA2

=4，
故点B的坐标为：（0，4），
设直线AB解析式为：y=kx+b（k≠0），
将A（-3，0）、B（0，4）代入得

?3k+b＝0 b＝4

，
解得：

k＝ 4 3 b＝4

，
∴AB直线解析式：y=

4

3

x+4．
将A（-3，0）、C（-1，0）、B（0，4）代入抛物线解析式可得：

9a?3b+c＝0 a?b+c＝0 c＝4

，
解得：

a＝ 4 3 b＝ 16 3 c＝4

，
故抛物线解析式：y=

4

3

x²+

16

3

x+4．

（2）设P（x，

4

3

x+4），已知D的坐标为：（2，0），
①若△ABO∽△APD，
则

AO

AD

=

AB

AP

=

BO

PD

，即

3

5

=

4

DP

，
解得：DP=

20

3

，
故点P的坐标为（2，

20

3

）．
②若△ABO∽△ADP，
则

AB

AD

=

AO

AP

，即

5

5

=

3

AP

，
解得：AP=3，
则（x+3）²+（

4

3

x+4）²=3²，
解得：x₁=-

6

5

，x₂=-

24

5

（不符合题意，舍去），
故点P的坐标为：（-

6

5

，

12

5

）．
（3）⊙D的半径r=2，
当点P的坐标为（2，

20

3

）时，⊙A的半径AP=

25

3

，AD=5＜

25

3

-2，
故此时两圆内含；
当点P的坐标为：（-

6

5

，

12

5

）时，⊙A的半径AP=3，AD=5=3+2，
故此时两圆外切．