Question

在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a3+a5=5，又a3与a5的等比中项为2．（1）求数列{a

在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a3+a5=5，又a3与a5的等比中项为2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=5-log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；（3）设Tn=1S1+1S2+…+1Sn，求Tn．

Answer 1

（1）a_n＞0，∴a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃a₅=4，而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q=

1

2

，a₁=16，
∴a_n=16×(

1

2

)n?1=2^5-n；
（2）b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴b_n+1-b_n=1，
∴{b_n}是以b₁=1为首项，1为公差的等差数列．
∴S_n=

n(n+1)

2

；
（3）由（2）知

1

S

n=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）++（

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

；