Question

若f(x)=x^2-2ax+1(x∈[0,1])的值域是[1-a^2,1],则实数a的取值范围是

详细解答

Answer 1

f(x)=x^2-2ax+1=(x-a)^2+1-a^2(x∈[0,1])的值域是[1-a^2,1],
∴a∈[0,1],max{f(0),f(1)}=max{1,2-2a}=1,2-2a<=1,
∴1/2<=a<=1,为所求.

Answer 2

解：
f（x）=x²-2ax+1
=x²-2ax+a²-a²+1
=（x-a）²+1-a²
函数开口朝上，对称轴为x=a
因为值域的最小值为1-a²，所以对称轴a在【0,1】区间内，即a∈【0,1】
因为值域最大值为1，即x²-2ax+1=1
x²-2ax+1=1
x²-2ax=0
x（x-2a）=0
所以x=0或x=2a
当x=2a时，函数最大值为1，此时x∈【0,1】，所以a∈【0,1/2】

当x=0时，函数最大值为1，此时对称轴x=a在x=1/2的右侧，所以在x=0时，函数的值最大
即a∈【1/2,1】
所以a的取值范围为a∈【0,1】