Question

已知，如图，直线l 1 ： y=- 3 2 x+3 与y轴交于点A，与直线l 2 交于x轴上同一点B，直线l 2 交y

已知，如图，直线l 1 ： y=- 3 2 x+3 与y轴交于点A，与直线l 2 交于x轴上同一点B，直线l 2 交y轴于点C，且点C与点A关于x轴对称．（1）求直线l 2 的解析式；（2）若点P是直线l 1 上任意一点，求证：点P关于x轴的对称点P′一定在直线l 2 上；（3）设D（0，-1），平行于y轴的直线x=t分别交直线l 1 和l 2 于点E、F．是否存在t的值，使得以A 、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线l 1 ： y=- 3 2 x+3 与x、y轴交于点B、A两点， ∴令x=0，则y=3 令y=0，则x=2 ∴A（0，3），B（2，0）， ∵点C与点A关于x轴对称，∴C（0，-3）； 设直线l 2 的解析式为y=kx+b， ∴ 2k+b=0 b=-3 ， 解得k= 3 2 ，b=-3， ∴直线l 2 的解析式为y= 3 2 x-3； （2）证明：设P（x，y），点P关于x轴的对称点P′（x，-y）， 把点P′（x，-y）代入直线l 2 的解析式，左边=-y，右边= 3 2 x-3； 又∵ y=- 3 2 x+3 ， ∴-y= 3 2 x-3， ∴左边=右边， ∴点P关于x轴的对称点P′一定在直线l 2 上． （3）假设存在t的值，使四边形ADEF为平行四边形， 则E（t， 3 2 t-3）、F（t，- 3 2 t+3）， ∴（ 3 2 t-3）-（- 3 2 t+3）=3-（-1）， 解得t= 10 3 ， ∵B（2，0）， ∴BN= 10 3 -2= 4 3 =BK， OK=2- 4 3 = 2 3 ， 即此时EF=- 3 2 × 2 3 +3-（ 3 2 × 2 3 +3）=4=AD， ∴存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 10 3 或 2 3 ．