Question

设 为正实数,现有下列命题:①若 ,则 ;②若 ,则 ;③若 ,则 ;④若 ,则 .其中的真命题有__________

设 为正实数,现有下列命题:①若 ,则 ;②若 ,则 ;③若 ,则 ;④若 ,则 .其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)

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Answer 1

①④

试题分析：①若a 2 -b 2 =1，则a 2 -1=b 2 ，即（a+1）（a-1）=b 2 ，∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确； ②若 ，可取a=7，b= ，则a-b＞1，∴②错误； ③若 ，则可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③错误； ④由|a 3 -b 3 |=1， 若a＞b，则a 3 -b 3 =1，即a 3 -1=b 3 ，即（a-1）（a 2 +1+a）=b 3 ，∵a 2 +1+a＞b 2 ，∴a-1＜b，即a-b＜1； 若a＜b，则b 3 -a 3 =1，即b 3 -1=a 3 ，即（b-1）（b 2 +1+b）=a 3 ，∵b 2 +1+b＞a 2 ，∴b-1＜a，即b-a＜1； ∴|a-b|＜1∴④正确； 故答案为①④ 点评：中档题，可通过举反例的方法证明某些命题的错误性。要想说明命题正确，应给出严格的证明。