Question

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将点A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函数y=ax²+bx+c中，得

a+b+c＝0 4a+2b+c＝0 c＝?2

解得a=-1，b=3，c=-2．
∴y=-x²+3x-2．（2分）

（2）∵AO=1，CO=2，BD=m-2，
当△EDB∽△AOC时，得

AO

ED

=

CO

BD

，
即

1

ED

=

2

m?2

，解得ED=

m?2

2

，
∵点E在第四象限，
∴E₁（m，

2?m

2

），
当△BDE∽△AOC时，

AO

BD

=

CO

ED

时，即

1

m?2

=

2

ED

，
解得ED=2m-4，
∵点E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则
EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，
当点E₁的坐标为（m，

2?m

2

）时，点F₁的坐标为（m-1，

2?m

2

），
∵点F₁在抛物线的图象上，
∴

2?m

2

=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
∴m=

7

2

，m=2（舍去），
∴F₁（

5

2

，-

3

4

），
当点E₂的坐标为（m，4-2m）时，点F₂的坐标为（m-1，4-2m），
∵点F₂在抛物线的图象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，∴m=2（舍去），m=5，
∴F₂（4，-6）．