Question

如图，在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆AB上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE?AC+BE?BD=______

如图，在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆AB上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE?AC+BE?BD=______．

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Answer 1

解：连接BC，AD，

根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，

根据相交弦定理，得AE•CE=DE•EB

∴AE•AC+BE•BD=AC²-AC•CE+BD²-BD•DE

=100-BC²+100-AD²-AC•CE-BD•DE

=200-BE²+CE²-AE²+DE²-AC•CE-BD•DE

=200+（DE+BE）（DE-BE）+（CE+AE）（CE-AE）-AC•CE-BD•DE

=200+BD（DE-BE）+AC（CE-AE）-AC•CE-BD•DE

=200-AE•AC-BE•BD，

∴AE•AC+BE•BD=100．

解析：连接AD、BC构造出两个直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，进行整式变形即可求解。

Answer 2

解：连接BC，AD，
根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根据相交弦定理，得AE?CE=DE?EB
∴AE?AC+BE?BD=AC²-AC?CE+BD²-BD?DE
=100-BC²+100-AD²-AC?CE-BD?DE
=200-BE²+CE²-AE²+DE²-AC?CE-BD?DE
=200+（DE+BE）（DE-BE）+（CE+AE）（CE-AE）-AC?CE-BD?DE
=200+BD（DE-BE）+AC（CE-AE）-AC?CE-BD?DE
=200-AE?AC-BE?BD，
∴AE?AC+BE?BD=100．