Question

已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．设函数f（x）在区间（-23，-13）内是减函数，求a的取值范围

已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．设函数f（x）在区间（-23，-13）内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

对函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．求导得f'（x）=3x²+2ax+1，
因为函数f（x）在区间（-

2

3

，-

1

3

）内是减函数，
所以当x∈（-

2

3

，-

1

3

）时f′（x）≤0恒成立，
结合二次函数的性质可知

f′(? 2 3 )≤0 f′(? 1 3 )≤0

，即

3×(? 2 3 )2+2a×(? 2 3 )+1≤0 3×(? 1 3 )2+2a×(? 1 3 )+1≤0

解得a≥2．
故a的取值范围为（2，+∞）