Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为______（直接写出结果，不需要写出计算过程）．

Answer 1

解答：（1）证明：在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，
∴∠CDF=∠B=90°．
在△BCE和△DCF中，

CB＝CD ∠B＝∠CDF BE＝DF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE=CF．


（2）解：GE=BE+GD成立．理由如下：
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°．
∵△BCE≌△DCF（已证），
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．
∴∠ECG=∠FCG=45°．
在△ECG和△FCG中，

CE＝CF ∠ECG＝∠FCG CG＝CG

，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=FG．
∵FG=GD+DF，
∴GE=BE+GD．

（3）解：①如图2，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
由（2）和题设知：DE=DG+BE，
设DG=x，则AD=12-x，DE=x+6，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得：
AD²+AE²=DE²
∴6²+（12-x）²=（x+6）²
解得x=4．
∴DE=6+4=10；
②将△ABD沿着AB边折叠，使D与E重合，△ACD沿着AC边折叠，使D与G重合，
可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，
∴∠EAG=∠E=∠G=90°，
AE=AG=AD，
BD=EB=2，
DC=CG=3，
∴四边形AEFG为正方形，
设正方形的边长为x，
可得BF=x-2，CF=x-3，
在Rt△BCF中，
根据勾股定理得：
BF²+CF²=BC²，
即（x-2）²+（x-3）²=（2+3）²，
解得：x=6或x=-1（舍去），
∴AD=6，
则S_△ABC=

1

2

BC?AD=15．