Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，试求△ABC周长l的范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得：2bcosB=acosC+c?cosA，再由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∴cosB=

1

2

，故B=

π

3

．
（Ⅱ）由（1）知 2R=

b

sinB

=2  故 l=a+b+c=b+（a+c）=

3

+2R（sinA+sinC）=

3

+2[sinA+sin（A+

π

3

）]=

3

+2

3

sin（A+

π

6

）．
再由 A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴l=

3

+2

3

sin（A+

π

6

）∈（2

3

，3

3

]．