Question

已知函数 f(x)=x+ a x +b(x≠0) ，其中a，b∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x

已知函数 f(x)=x+ a x +b(x≠0) ，其中a，b∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

求导得：f′（x）=1- a x 2 ， （1）f′（x）≥0， 当a=0时，f′（x）=1，函数是增函数； 当a＜0时，f′（x）=1- a x 2 ＞0，故函数在（-∞，0）与（0，+∞）上都是增函数 当a＞0时，f′（x）=1- a x 2 ＞0，得x＞ a 或x＜- a 故函数在（-∞，- a ）与（ a ，+∞）上都是增函数，在（- a ，0）与（0， a ）都是减函数． （2）函数f（x）在（1，2）上为单调函数 由（1）知a≤0时，满足题意， 当a＞0时，函数在（ a ，+∞）上是增函数，在（0， a ）是减函数，故当 a ≤1或 a ≥2时，符合题意解得0＜a≤1或a≥4， 综上，符合条件的实数a的取值范围是（-∞，1]∪[4，+∞）