Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O切线，交OD的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB＝6，且sin∠ABC＝ ，求BF的长．





Answer 1

（1）BE是⊙O的切线，（2）BF= .

试题分析： 解：（1）连结CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共， ∴△OCE≌△OBE（SAS ） ∴∠OCE＝∠OBE， 又CE是切线，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE与⊙O相切 （2） 备用图中，作DH⊥OB于H，H为垂足， ∵在Rt△ODB中，OB＝6，且sin∠ABC＝ ，∴OD＝4， 同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝ ，OH＝   又∵Rt△ABF∽Rt△AHD，∴FB︰DH＝AB︰AH， ∴FB＝ （其他方法同样给分） 点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。