Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3…）．（Ⅰ）求证：数列{Sn+1}为等比数列；

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3…）．（Ⅰ）求证：数列{Sn+1}为等比数列；（Ⅱ）求通项公式an；（Ⅲ）设bn=anS2n，求证：b1+b2+…+bn＜1．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n+1+1=3（S_n+1）
∵S₁+1=2+1=3
∴{S_n+1}是首项为3公比为3的等比数列．
（Ⅱ）∵{S_n+1}是首项为3公比为3的等比数列．
∴S_n+1=3×3^n-1=3ⁿ，
∴S_n=3ⁿ-1，
S_n-1=3^n-1-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

×3n．
（Ⅲ）证明：∵S_n=3ⁿ-1，an＝

2

3

×3n，
∴b_n=

an

S 2 n

=

2 3 ×3n

(3n?1)2

=

2 3 ×3n

32n?2×3n+1

＜

2 3

3n?2

=

2

3

×

1

3n?2

，
设cn＝

2

3

×

1

3 n?2

，
b₁+b₂+…+b_n＜c₁+c₂+c₃+…+c_n
=

2

3

(

1

3?2

+ 

1

9?2

+

1

27?2

+…+

1

3 n?2

)
＜

2

3

（1+

1

3

+

1

9

+…+

1

3 n?1

）
=

2

3

×

1×(1? 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2011-10-21 设数列{an}的前n项和为Sn,且满足S1=2，S(n+1)... 7 2010-12-07 某数列的前n项和为Sn,且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2... 12 2011-05-08 数学题，在线等……？设数列｛an}前n项和为Sn，且满足S1... 2 2013-08-10 设数列{an}的前n项和是Sn，Sn满足：S1=a(a≠0)... 2 2011-12-11 设数列{an}的前n项和为Sn,且满足S1=2，S(n+1)... 2013-10-26 设数列{an}的前n项和是Sn，Sn满足：S1=a(a≠0)... 2012-08-24 【高一数学】设数列{an}的前n项和为Sn，若S1=1，S2... 33 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式