Question

设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足xf′（x）=f（x）+3a2x2（a为常数

设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足xf′（x）=f（x）+3a2x2（a为常数），又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f（x），并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

Answer 1

x∈（0，1），xf′（x）=f（x）+

3a

2

x2（a为常数），
则

1

x

f′(x)?

1

x2

f(x)＝

3a

2

(a为常数)，
[

1

x

f(x)]′＝

3a

2

＝(

3a

2

x+C)′，C为任意常数，

1

x

f(x)＝

3a

2

x+C
f(x)＝

3a

2

x2+Cx
又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，
即S＝

∫

1 0

(y?0)dx═

∫

1 0

(

3a

2

x2+Cx)dx=[

a

2

x3+

C

2

x2

]

1 0

=

a

2

+

C

2

＝2
所以，C=4-a．
故f(x)＝

3a

2

x2+Cx=

3a

2

x2+(4?a)x．
又因为函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，所以上式对区间[0，1]适用．
所以，f(x)＝

3a

2

x2+(4?a)x，x∈[0，1]
因为函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，
所以，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
V＝

∫

1 0

πy2dx=π

∫

1 0

[

3a

2

x2+(4?a)x]2dx=π

∫

1 0

[

9a2

4

x4+3a(4?a)x3+(4?a)

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示