Question

已知函数f（x）=x2-1，设曲线y=f（x）在点（xn，yn）处的切线与x轴的交点为（xn+1，0），其中x1为正实数

已知函数f（x）=x2-1，设曲线y=f（x）在点（xn，yn）处的切线与x轴的交点为（xn+1，0），其中x1为正实数．（1）用xn表示xn+1；（2）x1=2，若an=lgxn+1xn?1，试证明数列{an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（3）若数列{bn}的前n项和Sn=n(n+1)2，记数列{an?bn}的前n项和Tn，求Tn．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²-1，∴f′（x）=2x，
∴在曲线上点（x_n，f（x_n））处的切线方程为y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-(xn2?1)=2x_n（x-x_n），
令y=0，得-（x_n²-1）=2x_n（x_n+1-x_n），
即xn2+1＝2xnxn+1，
由题意得x_n≠0，∴xn+1＝

xn2+1

2xn

．…5′
（2）xn+1＝

xn2+1

2xn

，
∴an+1＝lg

xn+1+1

xn+1?1

=lg

xn2+1 2xn +1

xn2+1 2xn ?1

=lg

xn2+2xn+1

xn2?2xn+1

=lg

(xn+1)2

(xn?1)2

=2lg

xn+1

xn?1

=2a_n，
即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}为等比数列，
∴an＝a1?2n?1=lg

x1+1

x1?1

?2^n-1=2^n-1?lg3．…10′
（3）当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，bn =S_n-S_n-1=

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