Question

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在R上恒成立．（Ⅰ）求t的取值范围；（

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在R上恒成立．（Ⅰ）求t的取值范围；（Ⅱ）记t的最大值为T，若正实数a，bc满足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，∴f（x）_min=3．…（2分）∵不等式t≤f（x）在R上恒成立，∴t≤f（x）_min=3，t的取值范围为（-∞，3]．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得T=t_max=3，
由柯西不等式得：（a+2b+c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²）=18，∴a+2b+c≤3

2

．…（5分）
当且仅当

a

1

＝

b

2

＝

c

1

即a＝

2

2

，b＝

2

，c＝

2

2

时，a+2b+c的最大值为3

2

．…（7分）