Question

高一数学，解一个关于指数函数的方程

Answer 1

解指数方程的思路是，先把指数式去掉，化为代数方程去解。
这样，解指数方程就是这样把指数式转化的问题。
一共有三种题型，分述如下。

1、a^[f(x)]=b型。
化为对数式
则a^[f(x)]=b；

2、a^[f(x)]=a^[g(x)]型:得f(x)=g(x);

3、一元二次型：A[a^f(x)]²+Ba^f(x)+C=0
设a^f(x)=t（其中t＞0）

有的课外书上还有像a^x=x+1这种题型。这种题目是用图象法。在同一坐标系中分别画出指数函数，一次函数的图象，看看交点的个数就是方程根的个数。一般地，求不出精确值。

Answer 2

令t=2^x>0 ，则方程化为：
(t-1)^2+(1/t+1)^2=3
t^2-2t+1+1/t^2+2/t+1=3
(t^2+1/t^2)-2(t-1/t)-1=0
(t-1/t)^2-2(t-1/t)+1=0
(t-1/t-1)^2=0
t-1/t-1=0
t^2-t-1=0
解之取正值得：t=(1+√5)/2
故x=log2[(1+√5)/2]

Answer 3

设t=2^x
(t-1)²+(1/t+1)²=3
t²-2t+1+1/t²+2/t+1=3
(t-1/t)²-2(t-1/t)+1=0
(t-1/t-1)²=0
t-1/t-1=0
t²-t-1=0
t=(1+√5)/2或t=(1-√5)/2（舍去，∵2^x＞0)
∴2^x=(1+√5)/2
∴x=log(2)(1+√5)-1