Question

已知定义在实数集R上的函数f(x),同时满足以下三个条件:1.f(-1)=2;2.x<0时,f(x)>1;3.对任意实数x,y都有

已知定义在实数集R上的函数f(x),同时满足以下三个条件:1.f(-1)=2;2.x<0时,f(x)>1;3.对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y) 2.判断函数单调性

Answer 1

f(-1)=f(-1+0)=f(-1)f(0)=2，所以f(0)=1
f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1,所以f(x)=1/f(-x)
当x>0时，-x<0，所以f(-x)=1/f(x)>1，所以f(x)<1
任取α>β>0，则f(α-β)=f(α)f(-β)=f(α)/f(β)<1,所以f(α)<f(β)，所以当x>0时，f(x)单调递减
同理可证当x<0时，f(x)单调递减，且x<0时,f(x)>1，f(0)=1，x>0时,f(x)<1，所以f(x)在R上单调递减