Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x 2 ．（1）求证：2是函数f（x

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x 2 ．（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析式；（3）是否存在整数k，使 f(x)+2kx-9 x ＞0 对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x） 所以：2是函数f（x）的一个周期（2分） （2）∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z 设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]∴f（x-2k）=（x-2k） 2 ， 即f（x）=（x-2k） 2 ，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）（6分） （3）当x∈[2k-1，2k+1]时， f(x)+2kx-9 x ＞0? x 2 -2kx+4 k 2 x ＞0 ①当k≥1时，则2k-1≥1，∴x＞0 ∴原题等价于x 2 -2kx+4k 2 -9＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立． 设g（x）=x 2 -2kx+4k 2 -9 当k≥1时，对称轴x=k≤2k-1 则g（2k-1）=4k 2 -2k-8≥0， 解得 k≥ 1+ 33 3 或 k≤ 1- 33 4 ∴整数k≥2（10分） ②当k≤-1时，则2k+1≤-1，∴x＜0， ∴原题等价于x 2 -2kx+4k 2 -9＜0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立， 设g（x）=x 2 -2kx+4k 2 -9 当k≤-1时，对称轴x=k≥2k+1 则g（2k-1）=4k 2 -2k-8＞0， 解得 1- 33 3 ＜k＜ 1+ 33 4 ∴整数k=-1（14分） ③当k=0时，原命题等价于 x 2 -9 x ＞0 对任意x∈[-1，1]恒成立 当x=1时，则-8＞0显然不成立∴k≠0（15分） 综上所述，所求k的取值范围是[2，+∞）∪-1．（16分）