Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且 = ．（1）求证：CD是⊙O的

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且 = ．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠CAB= ，BC=3，求DE的长．

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Answer 1

(1)证明见解析；（2） .

试题分析：（1）连结OC，由 ，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先计算出AD= ，再计算出CD= ；根据垂径定理的推论由 得OC⊥BE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD= ，则BE=2EF= ，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解． 试题解析：（1）证明：连结OC，如图， ∵ ， ∴∠1=∠2， ∵OC=OA， ∴∠1=∠OCA， ∴∠2=∠OCA， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连结BE交OC于F，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，tan∠CAB= ， 而BC=3， ∴AC=4， ∴AB= ， ∵∠1=∠2， ∴Rt△ABC∽Rt△ACD， ∴ ，即 ，解得 ， ∵ ，即 ，解得 ， ∵ ， ∴OC⊥BE，BF=EF， ∴四边形DEFC为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵AB为直径， ∴∠BEA=90°， 在Rt△ABE中， ， ∴ ． 【考点】切线的判定．