Question

如图，梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中

如图，梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．

Answer 1

（1）证明：在△ABC中， ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF= 1 2 AC 同理FG= 1 2 BD ，GH= 1 2 AC ，HE= 1 2 BD 在梯形ABCD中， ∵AB=DC， ∴AC=BD， ∴EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH为菱形． 设AC与EH交于点M 在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点， ∴EH ∥ BD，同理GH ∥ AC 又∵AC⊥BD， ∴∠BOC=90°． ∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90° ∴四边形EFGH为正方形． （2）连接EG，在梯形ABCD中， ∵E、G分别是AB、DC的中点， ∴EG= 1 2 （AD+BC）= 1 2 （1+3）=2， 在Rt△HEG中， EG 2 =EH 2 +HG 2 ， 4=2EH 2 ， EH 2 =2， 则EH= 2 ． 即四边形EFGH的边长为 2 ．