Question

已知抛物线C 1 ：y=ax 2 +4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

已知抛物线C 1 ：y=ax 2 +4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C 2 的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求平移后的抛物线C 2 的解析式；（3）直线 y=- 3 5 x+m 与抛物线C 1 、C 2 的对称轴分别交于点E、F，设由点E、P、F、M构成的四边形的面积为s，试用含m的代数式表示s．

Answer 1

（1）由抛物线C 1 ：y=ax 2 +4ax+4a-5=a（x+2） 2 -5得 ∴顶点P的坐标为（-2，-5） ∵点B（1，0）在抛物线C 1 上，∴a= 5 9 ∴抛物线C 1 的解析式为 y= 5 9 x 2 + 20 9 x- 25 9 ； （2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G ∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB=MB ∴△PBH≌△MBG ∴MG=PH=5，BG=BH=3 ∴顶点M的坐标为（4，5） ∴抛物线C 2 的表达式为y=- 5 9 （x-4） 2 +5； （3）依题意得，E（-2， 6 5 +m ），F（4， - 12 5 +m ），HG=6 ①当E点的纵坐标小于-5时， PE= -5-( 6 5 +m)=- 31 5 -m ，MF= 5-(- 12 5 +m)= 37 5 -m ， ∴ s= 1 2 (- 31 5 -m+ 37 5 -m)×6=-6m+ 18 5 ； ②当E点的纵坐标大于-5且F点的纵坐标小于5时， PE= 6 5 +m-(-5)= 31 5 +m ，MF= 5-(- 12 5 +m)= 37 5 -m ， ∴ s= 204 5 ； ③当F点的纵坐标大于5时， PE= 6 5 +m-(-5)= 31 5 +m ，MF= - 12 5 +m-5=- 37 5 +m ∴ s=6m- 18 5 ．