Question

已知函数 ， ，（1）若函数 的两个极值点为 ，求函数 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数 的

已知函数 ， ，（1）若函数 的两个极值点为 ，求函数 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数 的图象过点 的切线方程；（3）对一切 恒成立，求实数 的取值范围。

Answer 1

已知函数 ， ， （1）若函数 的两个极值点为 ，求函数 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数 的图象过点 的切线方程； （3）对一切 恒成立，求实数 的取值范围。

（1）  （2）x+y-2=0  （3）  a≥-2

函数 的两个极值点处导数为0 ，g’(x)=3x 2 +2ax-1带入 即可； 要求函数 的图象过点 的切线方程，先求函数在点 处的导数即斜率，在用点斜式求出方程；恒成立求实数 的取值范围时，一般分离参数，2a≥2lnx-3x- 再在最值处成立即可。 解：（1）g’(x)=3x 2 +2ax-1由题意： （2）由（1）可得：g(x)=x 3 -x 2 -x+2（1 o ）若P为切点，则切线方程为：y=1 2 o 若P不是切点，设切点Q（x 0 ，y 0 ）∴切线方程为y-y 0 =(3x 0 2 -2x 0 -1)(x-x 0 ) 1-(x 0 3 -x 0 2 -x 0 +2)=(3x 0 2 -2x 0 -1)(1-x 0 )    2x 0 (x 0 -1) 2 =0    ∴x 0 =0   ∴切点（0，2） ∴切线方程：x+y-2=0 （3）2xlnx≤3x 2 +2ax-1+2    ∴2ax≥2xlnx-3x 2 -1     ∵x>0   ∴2a≥2lnx-3x- 令ln(x)=2lnx-3x-     x      （0，1）    1      （1，+∞） h’(x)      +       0       - h(x)        ↑     极大值      ↓ ∴h(x) ≤h(1)=-4    ∴2a≥-4    a≥-2