Question

（平）已知数列{an}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且an+1an=kn+1．（1）求实数k的值；（2

（平）已知数列{an}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且an+1an=kn+1．（1）求实数k的值；（2）设g(x)=anxn-1(n-1)!，f（x）是数列{g（x）}的前n项和，求f（x）的解析式；（3）求证：不等式f(2)＜3ng(3)对n∈N+恒成立．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，
且

an+1

an

=kn+1，
∴

an+1

an

=

a n

an-1

+1=

an-1

an-2

+1+1=…=

a2

a1

+n-1，
∵

a2

a1

=k+1，
∴

an+1

an

=n+k=kn+1，
∴（n-1）k=n-1，
∴k=1．
（2）∵

an+1

an

=kn+1，k=1，
∴

an

an-1

=n-1+1=n，
∴a_n=n?a_n-1=n（n-1）?a_n-2=…=n!，
∵g(x)=

anxn-1

(n-1)!

=

n!?xn-1

(n-1)!

=n?x^n-1，
∴g（1）=n，g (2)=n? 2n-1，g（3）=n?3^n-1，…，g（n）=n?n^n-1，
∵f（x）是数列{g（x）}的前n项和，
∴f（x）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）
=n+n?2^n-1+n?3^n-1+…+n?n^n-1
=n（1+2^n-1+3^n-1+…+n^n-1）．
证明：（3）∵f（2）=n（1+2^n-1），

3

n

g(3)=

3

n

?n?3n-1=3n，
∴不等式f(2)＜

3

n

g(3)对n∈N₊恒成立等价于n（1+2^n-1）＜3<