Question

已知函数f（x）=a3x3+bx2+4cx（x∈R）是奇函数，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处切线的斜率为-6，且

已知函数f（x）=a3x3+bx2+4cx（x∈R）是奇函数，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处切线的斜率为-6，且当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的解析式；（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）由函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴b=0
（2）由f(x)＝

a

3

x3+4cx，有f'（x）=ax²+4c且f'（1）=-6，f'（2）=0
∴

a+4c＝?6 4a+4c＝0

解得  

a＝2 c＝?2

故f(x)＝

2

3

x3?8x
（3）∵f(x)＝

2

3

x3?8x
∴f'（x）=2x²-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f'（x）＜0得-2＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2]，[2，+∞）；单调减区间为[-2，2]