Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点C在这条抛物线上时m的值．（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0），
∴

a?b?2＝0 16a+4b?2＝0.

解得

a＝ 1 2 b＝? 3 2 .

∴抛物线所对应的函数关系式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴点C的坐标为（m，2），
∵点C（m，2）在抛物线上，
∴

1

2

m²-

3

2

m-2=2，
解得m₁=

3+ 41

2

，m₂=

3? 41

2

．
∴点C在这条抛物线上时，m的值为

3+ 41

2

或

3? 41

2

；

（3）∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=

2

CM=

2

MN，
∴CD=

2

CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴点D的坐标为（m，-2）．
又∵抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2的对称轴为直线x=

3

2

，点D在这条抛物线的对称轴上，
∴点D的坐标为（

3

2

，-2）；