Question

若数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn＝n2+n(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝2n+1(n∈N*)，

若数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn＝n2+n(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝2n+1(n∈N*)，求数列{anbn}的前n项和Tn；（3）已知cn＝ann+1(n∈N*)，①若?n∈N*，使Cn≤k恒成立，求实数k的取值范围；②若?n∈N*，使Cn＜k成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵Sn＝n2+n(n∈N*)，
∴n=1时，a₁=S₁=2，…（1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，…（2分）
n=1也符合，故an＝2n(n∈N*)；…（好厅4分）
（2）设cn＝

an

bn

＝

n

2n

，
则T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

①…（5分）
即

1

2

Tn＝

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn＝

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

?

n

2n+1

，
得Tn＝2?

n+2

2n

．…（8分）
（3）由Cn＝

2n

n+1

＝2?

2

n+1

，…（9分）
画出函数Cn＝2?

2

n+1

的草图，
由图空袜毕象知，1≤C_n＜2，…（10分）
①则k≥2，即k∈[2，+∞）；…（12分）
②则k＞1，即k∈（1，+∞）．…（14分）斗芹