Question

第一问，怎么证？

Answer 1

：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠MCD+∠DCB=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∵CD为∠BCA的外角的平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，
∴∠DCA=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
∴△ABD为等腰三角形．

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF，①
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴即CD•EF=AC•AF，
又由①有AC•AF=DF•EF命题即证．

Answer 2

（1）证法一：连CF、BF
∠ACD=∠MCD=∠CDB＋∠CBD=∠CFB＋∠CFD=∠DFB
而∠ACD=∠DFB=∠DAB又∠ACD=∠DBA
∴∠DAB=∠DBA ∴△ABD为等腰三角形 ……（4分）
证法二：
由题意有∠MCD=∠ACD =∠DBA,又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠MCD=∠DAB，∴∠DAB=∠DBA即△.ABD为等腰三角形 ……（4分）
（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF……① ……（5分）
又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC＋∠BDA=∠ADF＋∠BDA，即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE＋∠BAF=∠BDF＋∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE ……（8分）
∴在△CDA与△FDE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE
∴△CDA∽△FAE
∴,即CD·EF=AC·AF，又由①有AC·AF=DF·EF

Answer 3

(1)由题意有∠MCD=∠ACD =∠DBA,又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠MCD=∠DAB，∴∠DAB=∠DBA即△.ABD为等腰三角形