Question

已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2

已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接AC， ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° 又∵OD⊥BC ∴AC ∥ OE ∴∠CAB=∠EOB 由 AC 对的圆周角相等 ∴∠AEC=∠ABC 又∵∠AEC=∠ODB ∴∠ODB=∠OBC ∴△DBF ∽ △OBD ∴∠OBD=90° 即BD⊥AB 又∵AB是直径 ∴BD是⊙O的切线． （2）∵OD⊥弦BC于点F，且点O圆心， ∴BF=FC ∴BF=4 由题意OB是半径即为5 ∴在直角三角形OBF中OF为3 由以上（1）得到△DBF ∽ △OBD ∴ BD BF = OB OF 即得BD= 20 3 ．