Question

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x 2 +mx+2- 1

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x 2 +mx+2- 1 2 m=0的两个实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

∵b、c是关于x的方程x 2 +mx+2- 1 2 m=0的两个实数根， ∴b+c=-m，bc=2- 1 2 m， 当a为其腰时，则b=a，或c=a， ∴方程必有一个根为3， 代入方程得：9+3m+2- 1 2 m=0， 解得m=- 22 5 ， 则b+c=-m= 22 5 ， 则周长是a+b+c=3+ 22 5 = 37 5 ； 当a为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根， ∴△=m 2 -4（2- 1 2 m）=0， ∴m 1 =-4，m 2 =2＞0（舍去）， ∵b+c=-m=4＞a，bc=4＞0， ∴m=-4符合题意， ∴a+b+c=3+4=7． ∴△ABC的周长为 37 5 或7．