Question

如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N

如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．

Answer 1

(1) △OMN为等腰三角形，理由见解析；（2）△AGD是直角三角形，理由见解析．

试题分析：（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状． （2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证． 试题解析：：（1）取AC中点P，连接PF，PE， 可知PE= ， PE∥AB， ∴∠PEF=∠ANF， 同理PF= ， PF∥CD， ∴∠PFE=∠CME， 又PE=PF， ∴∠PFE=∠PEF， ∴∠OMN=∠ONM， ∴△OMN为等腰三角形． （2）判断出△AGD是直角三角形． 证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ∵F是AD的中点， ∴HF∥AB，HF= AB， 同理，HE∥CD，HE= CD， ∵AB=CD ∴HF=HE， ∵∠EFC=60°， ∴∠HEF=60°， ∴∠HEF=∠HFE=60°， ∴△EHF是等边三角形， ∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°， ∴△AGF是等边三角形． ∵AF=FD， ∴GF=FD， ∴∠FGD=∠FDG=30° ∴∠AGD=90° 即△AGD是直角三角形．