Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．①求⊙O的

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．①求⊙O的半径；②求sin∠BOC的值．

Answer 1

（1）连接OD，OE，设OD=r ∵AC，BC切⊙O于D，E ∴∠ODC=∠OEC=90°，OD=OE ∵S △AOC +S △BOC =S △ABC ∴ 1 2 AC?OD+ 1 2 BC?OE= 1 2 AC?BC 即 1 2 ×4r+ 1 2 ×2r= 1 2 ×4×2， ∴r= 4 3 ． （2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC， 在Rt△ABC与Rt△OEC中 AB= 4 2 + 2 2 =2 5 ，OC= ( 4 3 ) 2 + ( 4 3 ) 2 = 4 3 2 ∵ 1 2 AC?BC= 1 2 AB?CF ∴CF= AC?BC AB = 4 5 5 ∴sin∠BOC= CF OC = 4 5 5 × 3 4 2 = 3 10 10 即sin∠BOC= 3 10 10 ．