Question

如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上。(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：B

如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上。(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形。

Answer 1

证明：（1）连接AC，∵菱形ABCD中，∠B=60°， ∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC ∵∠AEF=60°， ∴∠FEC=90°-∠AEF=30°， ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°， ∴∠FEC=∠CFE， ∴EC=CF， ∴BE=DF； （2）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60° ∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， ∴∠B=∠ACF=60°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD， ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD， ∴∠AEB=∠AFC， 在△ABE和△AFC中， ∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC   ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AE=AF， ∵∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形．