Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC =PE·PO . （1）求证：PC是⊙O

如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC =PE·PO . （1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE:EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；（3）在（2）问下，求 的值。

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Answer 1

（1）连接OC，根据PC 2 =PE?PO和∠P=∠P，可证得△PCO∽△PEC，即可证得∠PCO=∠PEC，再结合已知条件即可得出PC⊥OC，从而证得结论；（2）3；（3）

试题分析：（1）根据 和∠P=∠P，可证得△PCO∽△PEC，即可证得∠PCO=∠PEC，再结合已知条件即可得出PC⊥OC，从而证得结论； （2）设OE=x，则AE=2x，根据切割线定理得 ，则 ，解一元二次方程即可求出x，从而得出⊙O的半径； （3）连接BC，根据PC是⊙O的切线，得∠PCA=∠B，根据勾股定理可得出CE，BC，再由三角函数的定义即可求出结果． （1）∵   ∴ ∵∠P=∠P ∴△PCO∽△PEC ∴∠PCO=∠PEC ∵CD⊥AB ∴∠PEC=90° ∴∠PCO=90° ∴PC是⊙O的切线； （2）设OE=x ∵OE：EA=1：2 ∴AE=2x ∵ ∴ ∵PA=6 ∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x）， 解得x=1 ∴OA=3x=3 ∴⊙O的半径为3； （3）连接BC ∵ ∴ ∴ ∴ ∵PC是⊙O的切线 ∴∠PCA=∠B 点评：本题是一道综合性的题目，主要考查了学生对各种定义的综合应用能力，是中考压轴题，难度中等．