Question

已知Sn是数列{an}的前n项和，an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．（1）证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；

已知Sn是数列{an}的前n项和，an=Sn-1+2（n≥2），a1=2．（1）证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）已知Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，求Tn．

Answer 1

（1）∵a_n=S_n-1+2（n≥2）
∴a_n+1=S_n+2
当n≥2时，a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n
∴a_n+1=2a_n
∵a₂=S₁+2=4=2a₁
∴a_n+1=2a_n对应任意的n≥1都成立
∴数列为等比数列首项为2公比为2，a_n=2ⁿ
（2）∵T_n=a₁+2a₂+…+na_n
∴T_n=1×2+2×4+3×8+…+n?2ⁿ
∴2T_n=1×4+2×8+…+n?2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=2+4+8+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1
∴T_n=（n-2）?2ⁿ⁺¹+2