Question

已知数列{an}的前n项和Sn=3n2?n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m

已知数列{an}的前n项和Sn=3n2?n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

Answer 1

（1）解：∵S_n=

3n2?n

2

，n∈N^*．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3n2?n

2

-

3(n?1)2?(n?1)

2

=3n-2，（*）
当n=1时，a₁=S₁=

3×12?1

2

=1．
因此当n=1时，（*）也成立．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2．
（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比数列．
则

a

2 n

＝a1am，
∴（3n-2）²=1×（3m-2），
化为m=3n²-4n+2，
∵n＞1，
∴m=3n²-4n+2=3(n?

2

3

)2+

2

3

≥1，
因此对任意的n＞1，都存在m=3n²-4n+2∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比数列．