设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：
设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：S2nSn≥34，n∈N*．...
设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：S2nSn≥34，n∈N*．
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（1）当n=1时，a1=5S1+1，∴a1=-
，
又∵an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1，
∴an+1-an=5an+1，即
＝?
且an≠0，n∈N*，
∴数列{an}是首项为a1=-
，公比为q=-
的等比数列，
∴an=（-
）n；
（2）Sn＝
＝
，
∵|(?
)n|＝(
)n＜1，∴(?
)n?1＜0，∴Sn≠0，
又
＝
＝(?
)n+1，
当n=2m，m∈N*（偶数）时，比值=1+(?
)2m＝1+(
)m＞1＞
，
当n=2m-1，m∈N*（奇数）时，比值=1+(?
)2m?1＝1?(
)2m?1，
关于m为递增数列，当m=1时，取到最小值1?
＝
，
综上所述，对任何正整数n，不等式
≥
| 1 |
| 4 |
又∵an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1，
∴an+1-an=5an+1，即
| an+1 |
| an |
| 1 |
| 4 |
∴数列{an}是首项为a1=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴an=（-
| 1 |
| 4 |
（2）Sn＝
| an?1 |
| 5 |
(?
| ||
| 5 |
∵|(?
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
又
| S2n |
| Sn |
(?
| ||
(?
|
| 1 |
| 4 |
当n=2m，m∈N*（偶数）时，比值=1+(?
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 16 |
| 3 |
| 4 |
当n=2m-1，m∈N*（奇数）时，比值=1+(?
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
关于m为递增数列，当m=1时，取到最小值1?
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
综上所述，对任何正整数n，不等式
| S2n |
| Sn |
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