Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0）、B（0，-6）两点．（1）求

如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0）、B（0，-6）两点．（1）求点M的坐标；（2）若二次函数y=a（x+m）2+n图象的顶点C在⊙M上，且经过点B，圆心M在其对称轴上．求此二次函数的关系式．

Answer 1

解：（1）连接AB，过点M作MN⊥AO于点N，过点M作MD⊥BO于点D，
∵⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0）、B（0，-6）两点，
∴AB是⊙M的直径，
∴AB=

82+62

=10，
∵M为AB中点，
∴M的坐标为：（-4，-3）；

（2）延长NM到⊙M上一点C，
∵二次函数y=a（x+m）²+n图象的顶点C在⊙M上，圆心M在其对称轴上，AB=10，
∴MC=5，则NC=8，
∴C点坐标即为（-4，-8）或（-4，2），
将（-4，-8）代入y=a（x+m）²+n得，
y=a（x+4）²-8，
∵图象经过点B，故-6=a（0+4）²-8，
解得：a=

1

8

．
故二次函数的关系式为：y=

1

8

（x+4）²-8．
将（-4，2）代入y=a（x+m）²+n得，
y=a（x+4）²+2，
∵图象经过点B，故-6=a（0+4）²+2，
解得：a=-

1

2

．
故二次函数的关系式为：y=-

1

2

（x+4）²+2．
综上可得：二次函数的关系式为：y=

1

8

（x+4）²-8或y=-

1

2

（x+4）²+2．