Question

（10分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）在x=-1时取到最小值0，且f（0）=1，

（10分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）在x=-1时取到最小值0，且f（0）=1，g（x）=f(x)(x＞0)?f(x)(x＜0)．（1）求g（2）+g（-2）的值；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）上的最小值．

Answer 1

∵已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）在x=-1时取到最小值0，且f（0）=1，
∴对称轴x=?

b

2a

＝?1，即b=2a，
且判别式△=b²-4ac=0，
即4a²-4ac=0，即a=c，
∵f（0）=c=1，
∴a=c=1，b=2，即f（x）=x²+2x+1，
则g（x）=

x2+2x+1， x＞0 ?x2?2x?1， x＜0

．
则g（2）+g（-2）=f（2）-f（-2）=4+4+1+（4+4+1）=10．
（2）∵f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴二次函数的对称轴为x=-1．
若t≥-1，此时f（x）在区间[t，t+2]上单调递增，则最小值为f（t）=（t+1）²，
当t+2≤-1，即t≤-3时，此时f（x）在区间[t，t+2]上单调递减，则最小值为f（t+2）=（t+3）²，
若t≤-1≤t+2，即-3＜t＜-1时，最小值为f（-1）=（-1+1）²=0，
综上函数的最小值为

(t+3)2， t≤?3 0， ?3＜t＜?1 (t+1)2， t≥?1

．