Question

设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a

设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：0＜f(x2)x1＜?12+ln2．

Answer 1

（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=

2x2+2x+a

x+1

≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥-x²-2x在区间[1，+∞）上恒成立．
∵-2x²-2x在区间[1，+∞）上的最大值为-4，
∴a≥-4；
经检验：当a=-4时，f ′(x)＝

2x2+2x?4

x+1

＝

2(x+2)(x?1)

(x+1)

≥0，x∈[1，+∞）．
∴a的取值范围是[-4，+∞）．
（Ⅱ）f ′(x)＝

2x2+2x+a

x+1

＝0在区间（-1，+∞）上有两个不相等的实数根，
即方程2x²+2x+a=0在区间（-1，+∞）上有两个不相等的实数根．
记g（x）=2x²+2x+a，则有

? 1 2 ＞?1 f(? 1 2 )＜0 f(?1)＞0

，解得0＜a＜

1

2

．
∴x1+x2＝?1，2x22+2x2+a＝0，x2＝?

1

2

+

1?2a

2

，?

1

2

＜x2＜0．
∴

f(x2)

x1

＝

x22?(2x22+2x2)ln(x2+1)

?1?x2

令k(x)＝

x2?(2x2+2x)ln(x+1)

?1?x

，x∈(?

1

2

，0)．
k′(x)＝

x2

(1+x)2

+2ln(x+1)，
p(x)＝

x2

(1+x)2

+2ln(x+1)．
∴p′(x)＝

2x2+6x+2

(1+x)3

，
p′(?

1

2

)＝?4，p′(0)＝2．
在x0∈(?

1

2

，0)使得p′（x₀）=0．
当 x∈(?

1

2

，x0)，p′（x）＜0；当x∈（x₀，0）时，p′（x）＞0．
而k′（x）在(?

1

2

，x0)单调递减，在（x₀，0）单调递增，
∵k′(?

1

2

)＝1?2ln2＜0．k′(0)＝0，
∴当x∈(?

1

2

，0)，k′(x)＜0，
∴k（x）在(?

1

2

，0)单调递减，
即0＜

f(x2)

x1

＜?

1

2

+ln2．