已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,
已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b的值;(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上...
已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b的值;(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
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(1)∵f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),∴a+b=4①式 …(1分)
f'(x)=3ax2+2bx,则f'(1)=3a+2b…(3分)
由条件f′(1)?(?
)=?1,即3a+2b=9②式…(5分)
由①②式解得a=1,b=3
(2)f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x,
令f'(x)=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2,…(8分)
∵函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增
∴[m,m+1]?(-∝,-2]∪[0,+∝)
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3
f'(x)=3ax2+2bx,则f'(1)=3a+2b…(3分)
由条件f′(1)?(?
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由①②式解得a=1,b=3
(2)f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x,
令f'(x)=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2,…(8分)
∵函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增
∴[m,m+1]?(-∝,-2]∪[0,+∝)
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3
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