Question

高中数学第十四题求解

Answer 1

不等式 ax^2+2x+b > 0 的解集为 ｛x | x ≠ -1/a ｝，
说明 a > 0 ，且判别式 = 4-4ab = 0 ，且 a(-1/a)^2+2(-1/a)+b = 0 ，
因此 b = 1/a ，
由 a > b 得 a > 1/a ，所以 a > 1 ，0 < b < 1 ，
因此 (a^2+b^2)/(a-b) = (a^2+1/a^2) / (a-1/a) = (a^4+1)/(a^2-1)
= (a^2+1)+2/(a^2-1)
= (a^2-1) + 2/(a^2-1) +2
≥ 2√2 + 2 ，（均值定理）
所以，最小值为 2√2+2 。

追问

你能不能看下我这样解有什么问题吗？

追答

第一步的条件转化就错了。
ax^2+2x+b > 0 的解集是 ｛x | x ≠ -1/a ｝，说明抛物线 f(x) = ax^2+2x+b 与 x 轴相切，并且图像在 x 轴上方。

所以可得 a > 0 ，且判别式 = 0 ，且 f(-1/a) = 0 。由此得 b = 1/a ，a > 0 。
再结合 a > b 可得 a > 1 ，
以下是代入，化简，用均值不等式 。

追问

这里为什么是和x轴相切呢？

追答

如果相交，那么两个交点之间的图像就跑到 x 轴下方了，所以那个解集是不可能是只有一个实数取不到；如果相离，整个抛物线全在 x 轴上方，解集就是 R 了 。

追问

噢。可是老师今天讲卷子报的答案就是2√2呀

追答

你把前面我的解答让老师看看吧，共同切磋。

追问

不过我的老师还没讲，因为下课了，所以报了答案