Question

如图，已知 AC ⊥ BC ， BD ⊥ AD ， AC 与 BD 交于 O ， AC ＝ B D． 求证：（1） BC ＝ AD ；（2）△

如图，已知 AC ⊥ BC ， BD ⊥ AD ， AC 与 BD 交于 O ， AC ＝ B D． 求证：（1） BC ＝ AD ；（2）△ OAB 是等腰三角形．

Answer 1

（1）证明边相等，首选全等三角形。该题已知条件，可以连接AB，有公共边AB，因为有一角是直角，可以用HL证明，因为有 AC ＝ B D，所以BC＝AD； （2）证明等腰三角形，除了直接证明腰相等，还可以证明底角相等，由（1）得对应角∠CAB＝∠DBA，所以OA＝OB，即△ OAB 是等腰三角形.

试题分析： （1）连接BA，∵ AC ⊥ BC ， BD ⊥ AD ， ∴在R t △DAB与R t △CAB中，AC=DB  AB=AB ∴R t △DAB ≌ R t △CAB （HL） ∴BC＝AD (2)∵R t △DAB ≌ R t △CAB(已证) ∴∠CAB＝∠DBA ∴OA＝OB， ∴△ OAB 是等腰三角形． 点评：该题较为简单，是常考题，树妖考查学生对全等三角形和等腰三角形的判定的理解和应用能力。