Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的

如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D。（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）y=﹣x 2 +3x；（2）（1， ）；（3）N 1 （2，0），N 2 （6，0），N 3 （﹣ ﹣1，0），N 4 （ ﹣1，0）．

试题分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x-2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式； （2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标； （3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3， ），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ= ，N′P=AQ=3，将y=- 代入得：- =- x 2 +3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标． 试题解析：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3）， 设抛物线解析式为y=a（x﹣2） 2 +3， 将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2） 2 +3=﹣x 2 +3x； （2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（4，0）与C（0，3）代入得： ， 解得： ，故直线AC解析式为y=﹣ x+3， 与抛物线解析式联立得： ，解得： 或 ， 则点D坐标为（1， ）； （3）存在，分两种情况考虑： ①当点M在x轴上方时，如答图1所示： 四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN， 由对称性得到M（3， ），即DM=2，故AN=2，∴N 1 （2，0），N 2 （6，0）； ②当点M在x轴下方时，如答图2所示： 过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ= ，NP=AQ=3，将y M =﹣ 代入抛物线解析式得：﹣ =﹣x 2 +3x， 解得：x M =2﹣ 或x M =2+ ，∴x N =x M ﹣3=﹣ ﹣1或 ﹣1， ∴N 3 （﹣ ﹣1，0），N 4 （ ﹣1，0）． 综上所述，满足条件的点N有四个：N 1 （2，0），N 2 （6，0），N 3 （﹣ ﹣1，0），N 4 （ ﹣1，0）．

Answer 2

如图，正方形OABC的边长为1，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2(a<0)的图像上，a的值为？