Question

设抛物线y= x 2 +(2a+1)x+2a+ 5 4 的图象与x轴只有一个交点．（1）求a的值；（2）求a 18 +

设抛物线y= x 2 +(2a+1)x+2a+ 5 4 的图象与x轴只有一个交点．（1）求a的值；（2）求a 18 +323a -6 的值．

Answer 1

（1）∵抛物线y= x 2 +(2a+1)x+2a+ 5 4 的图象与x轴只有一个交点， ∴△= (2a+1 ) 2 -4×1×(2a+ 5 4 ) =0， 解得：a= 1± 5 2 ． （2）∵a= 1± 5 2 ， ∴a是方程x 2 -x-1=0的根， ∴a 2 -a-1=0， ∵a≠0， ∴ a- 1 a =1， a 2 + 1 a 2 = (a- 1 a ) 2 +2 =3， a 4 + 1 a 4 = ( a 2 + 1 a 2 ) 2 -2 =7， a 8 + 1 a 8 = ( a 4 + 1 a 4 ) 2 -2 =47， a 12 + 1 a 12 =（ a 4 + 1 a 4 ）（ a 8 + 1 a 8 -1） =7×（47-1） =322， a 18 +323a -6 =（ a 18 + 1 a 6 ）+ 322 a 6 =a 6 （ a 12 + 1 a 12 ）+ 322 a 6 =322a 6 + 322 a 6 =322（ a 6 + 1 a 6 ）， a 6 + 1 a 6 =（ a 2 + 1 a 2 ）（ a 4 + 1 a 4 -1） =3×（7-1） =18． ∴322（ a 6 + 1 a 6 ）=322×18=5796．