Question

如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD

如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形． ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA． 又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA=∠AFO． ∴△BOE≌△AOF． ∴OE=OF． （2）OE=OF成立． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA． 又∵AM⊥BE， ∴∠F+∠MBF=90°， ∠E+∠OBE=90°， 又∵∠MBF=∠OBE， ∴∠F=∠E． ∴△BOE≌△AOF． ∴OE=OF．