Question

已知数列{ a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，S n+1 =4a n +1，设b n =a n+1 -2a n ．（Ⅰ）证明数列{b n }

已知数列{ a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，S n+1 =4a n +1，设b n =a n+1 -2a n ．（Ⅰ）证明数列{b n }是等比数列；（Ⅱ）数列{c n }满足 c n = 1 lo g 2 b n +3 （n∈N * ），设T n =c 1 c 2 +c 2 c 3 +c 3 c 4 +，…+c n c n+1 ，求证，对一切n∈N * 不等式 T n ＜ 1 4 恒成立．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由于S n+1 =4a n +1，① 当n≥2时，S n =4a n-1 +1．        ② ①-②得 a n+1 =4a n -4a n-1 ．    所以a n+1 -2a n =2（a n -2a n-1 ）． 又b n =a n+1 -2a n ，所以b n =2b n-1 ． 因为a 1 =1，且a 1 +a 2 =4a 1 +1，所以a 2 =3a 1 +1=4． 所以b 1 =a 2 -2a 1 =2． 故数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n =2 n ，则c n = 1 lo g 2 b n +3 = 1 n+3 （n∈N * ）． T n =c 1 c 2 +c 2 c 3 +c 3 c 4 +…+c n c n+1 = 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 +… + 1 (n+3)(n+4) = 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 +…+ 1 n+3 - 1 n+4 = 1 4 - 1 n+4 ＜ 1 4 ．