Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，且对一切x∈R，都有f（x） ≤f( π

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，且对一切x∈R，都有f（x） ≤f( π 12 )=4 ；（1）求函数f（x）的表达式；（2）若g（x）=f（ π 6 -x ），求函数g（x）的单调增区间；（3）若函数y=f（x）-3的图象按向量 c =（m，n） （|m|＜ π 2 ）平移后得到一个奇函数的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

（1）∵ f(x)=asinωx+bcosωx= a 2 + b 2 sin(ωx+φ) ，又周期 T= 2π ω =π ∴ω=2 ∵对一切x∈R，都有f（x） ≤f( π 12 )=4 ∴ a 2 + b 2 =4 asin π 6 +bcos π 6 =4 解得： a=2 b=2 3 ∴f（x）的解析式为 f(x)=2sin2x+2 3 cos2x=4sin(2x+ π 3 ) （2）∵ g(x)=f( π 6 -x)=4sin[2( π 6 -x)+ π 3 ]=4sin(-2x+ 2π 3 )=-4sin(2x- 2π 3 ) （3） ∴g（x）的增区间是函数y=sin (2x- 2π 3 ) 的减区间 ∴由 2kπ+ π 2 ≤2x- 2π 3 ≤2kπ+ 3π 2 得g（x）的增区间为 [kπ+ 7π 12 ，kπ+ 13π 12 ] （k∈Z）（等价于 [kπ- 5π 12 ，kπ+ π 12 ] ． （3） m= π 6 ，n=3