Question

如图，已知二次函数图象的顶点为P（0，-1），且过点（2，3）．点A是抛物线上一点，过点A作y轴的垂线，交

如图，已知二次函数图象的顶点为P（0，-1），且过点（2，3）．点A是抛物线上一点，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD．（1）求此二次函数的解析式；（2）当点A在第一象限内时，PA与x轴交点记为E，证明：①△PED∽△PDA；②∠APC=90°；（3）若∠APD=45°，当点A在y轴右侧时，请直接写出点A的坐标．

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=ax²-1，将（2，3）点代入，
3=3a-1，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-1；

（2）①如图，过P作AD垂线交AD延长线于点，
设A（x，x²-1），则tan∠PDE＝

1

x

，tan∠PAD＝

x

x2?1+1

＝

1

x

，
∴∠PDE=∠PAD，
又∵公共角∠EPD，
∴△PED∽△PDA，
②∵AC²=（2x）²+（x²-1）²=x⁴+2x²+1，
PC²+PA²=1²+x²+x²+（x²）²=x⁴+2x²+1
∴AC²=PC²+PA²，
∴∠APC=90°；
                                   
（3）如备用图，∵点H为直角三角形ACP的斜边AC中点，
∴H是过ACP三点的圆的圆心，D也在⊙H上，
∵AC²=PC²+PA²，
∴∠APC=90°，要满足∠APD=45°，则有∠AHD=90°，
即2x=x²-1，
解得x＝1±

2

，
∴A₁（1+

2

，2+2

2

），A₂（1-

2

，2-2

2

），
（方法不唯一，也可用代数方法解决）．