Question

（2014?江阴市二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称

（2014?江阴市二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴是x=1，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，求t的取值范围或t的值；（3）抛物线上是否存在点P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与y轴交于点C
∴C（0，3），
∴OC=3
∵OB=OC，
∴OB=3
∵抛物线的对称轴是x=1，
∴B（3，0），A（-1，0）
∴

a?b+3＝0 9a+3b+3＝0

   
 解得

a＝?1 b＝2

∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）由题意，抛物线只能沿y轴向下平移
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴设平移后的抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4-t（t＞0）
当原点O落在平移后的抛物线上时，把（0，0）代入得：
0=-（0-1）²+4-t，
解得t=3；
当平移后的抛物线的顶点落在x轴上时，x=1，y=0
即0=-（1-1）²+4-t，
解得t=4，
∵平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点
∴0＜t＜3或t=4                          

（3）取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN
则AN=CN，
∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC-∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC-∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴

CM

CN

=

CO

CA

∴CN=

CM?CA

CO

=

CA2

2CO

=

12+32

2×3

=

5

3

∴NO=CO-CN=3-

5

3

=

4

3

，
∴tan∠NAO=

NO

AO

=

4

3

；
当点P在BC上方时，设为P₁，过B作BD⊥BC交直线CP₁于D，过D作DE⊥x轴于E
∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴

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